Villa Educación

Viernes 23 de agosto de 2019


FIBONACCI Y LA PROPORCIÓN ÁUREA: ¿GEOMETRÍA DIVINA?

“Dios algunas veces geometriza”Platón (427-347 a. C.).

Phi (Φ,φ) -el número áureo, de oro o de Fibonacci- es un concepto de sobra conocido y estudiado por matemáticos de todos los tiempos, pero que a su vez, tampoco es del todo ajeno para los amantes del arte, la biología, la arquitectura, la música, la botánica o las finanzas, por ejemplo. No es difícil que se hayan tropezado con él en cualquiera de estas disciplinas. ¿Significa esto que es posible entonces encontrar una traducción numérica para todo lo que vemos, oímos o construimos a nuestro alrededor? Quizás la respuesta más cercana que podamos dar a esta pregunta sea la frase de Platón que abre este artículo.

Sin embargo, sí podemos indagar en un fenómeno matemático que ha atraído la atención de pensadores de todas las disciplinas y épocas desde que fuera descubierto: la proporción áurea o la divina proporción. Para entrar en materia tenemos que remontarnos a la historia del matemático Leornardo Bigollo (Leonardo Pisano o de Pisa), Fibonacci.

 

LA ESPIRAL DE FIBONACCI

Phi (Φ,φ) se llama Phi gracias al famoso escultor griego Fidias (siglo 5 a. C.), autor de grandes hitos arquitectónicos como el Partenón de Atenas. Según cuenta Mario Livio en su libro “La proporción áurea: La historia de Phi, el número más sorprendente del mundo”, ciertos historiadores sostenían que Fidias habría utilizado con esmero la proporción áurea en sus obras. Fue por eso que el matemático estadounidense Mark Barr decidió honrarle nombrando a Φ con su inicial en griego (Phi). Es decir, Phi, ni fue descubierto por Fibonacci (había sido ya definido y estudiado por Euclides), ni debe su nombre al italiano. Dicho esto, sin embargo, es preciso acudir al hallazgo del italiano para adentrarnos en la potencial capacidad armónica de Phi y sus derivados. La sucesión de Fibonacci y el número de oro son dos caras de la misma moneda.

La sucesión que descubrió el matemático pisano (0,1,1,2,3,5,8,13…) entraría dentro del campo de la aritmética (estudia los números y las operaciones elementales que se pueden realizar con ellos). De esta sucesión deriva el número áureo, representado con la letra griega Phi(Φ,φ) y que sirve para expresar la relación entre dos segmentos de una recta. Es decir, Phi es una construcción geométrica (en relación a las propiedades de las figuras) que surge así:

Phi representado como una línea dividida en dos segmentos a y b, de tal manera que toda la línea (a+b) es al segmento más largo a lo mismo que a es al segmento más corto b φ = (a+b)/ a = a/ b /Imagen: Wikimedia commons

Si nos valemos del álgebra para obtener el valor numérico de Φ, recurrimos a una ecuación por la cual Φ= a/b. Por lo tanto, aplicado esto a la representación gráfica del segmento anterior: cuando dividimos el total  de la longitud del segmento (a+b) entre la parte más larga (a) obtenemos el mismo resultado que al dividir la parte más larga (a) entre la más corta (b). El resultado de esta operación es 1.6180339887… lo que es lo mismo, el número áureo definido por Euclides, “un número infinito e irrepetible” (Mario Livio).

Curiosamente, esta cifra es la misma a la que se aproxima el resultado de dividir cualquiera de los números de la sucesión de Fibonacci entre su antecesor (ejemplo: 5/3= 1.666; 13/8=1.625). Uniendo estos dos aspectos, es decir, representando mediante la geometría el concepto aritmético, surge una imagen clave para entender por qué este artículo puede fascinarte aunque no seas matemático ni hayas terminado de entender el entramado numérico que hay detrás del descubrimiento de Leonardo el Pisano: la espiral de Fibonnaci.

 

Reproducción del proceso para formar la espiral de Fibonacci en relación a los números que forman la sucesión (longitud de los rectángulos cuya unión da como resultado el trazado de la propia espiral) Imagen: lamentiraestaahifuera.com

 

UBICUIDAD, ¿CIENCIA O CASUALIDAD?

El número Phi no deja de sorprender con sus propiedades y, al ser descubierto como relación o proporción, ha dado lugar a un amplio análisis de diferentes formas, objetos, representaciones gráficas o incluso patrones de movimiento que tienen lugar en nuestro mundo y que teóricamente están más o menos directamente relacionados con esta proporción, la proporción áurea o divina proporción. El rectángulo áureo o la espiral de Fibonacci, son los ejemplos descritos en este artículo, pero también es posible identificar triángulos áureos o pentágonos áureos. Cualquiera de estas formas se define por tener una propiedad común: respeta la proporción áurea.

Ahora bien, ¿es tan fácil encontrarse con estas formas “áureas” o “divinas” en el entorno que nos rodea? Es decir, más allá de disciplinas como la arquitectura o el diseño, que claramente utilizan las formas y la geometría intencionadamente. ¿Qué pasa con la naturaleza o incluso, con el cosmos? La proporción áurea está en las Pirámides de Egipto, en el logo de Google, en los pétalos de las rosas o en la misma forma de las galaxias. En La Gioconda de Leonardo Da Vinci, en la estructura microscópica de algunos cristales o en las partituras de Debussy. ¿Estamos ante el número más asombroso del mundo? O por el contrario ¿estamos manipulando la realidad queriendo ver matemáticas donde no las hay? Sin duda, después de conocer estos datos tenemos que admitir que las matemáticas tienen una curiosa tendencia a contribuir incluso al conocimiento de materias a las que son, o al menos parecen, totalmente ajenas.

Dory Gascueña para OpenMind




LA LUNA DE HOY

Fase lunar: Luna gibosa menguante

Iluminación: 57.8%

Edad lunar: 21.4 días

Salida: 00:18:52 GMT-0500

Puesta: 13:35:52 GMT-0500

Distancia Luna: 391,309.9 km

Distancia Sol: 151,272,454.1 km




FIBONACCI Y SUS NÚMEROS MÁGICOS

Leonardo Bigollo (Leonardo Pisano o de Pisa) fue un matemático que vivió en Italia entre los siglos 12 y 13 (1170-1240) y que se atrevió a despreciar el sistema de números romanos que imperaba en su época. Ha pasado a la historia con el que fuera su apodo: Fibonacci, un derivado de la suma de los vocablos fillius + bonnacci que en latín e italiano significan algo así como “hijo del bien intencionado”. Al parecer, el padre de Fibonacci (Guglielmo) era buena gente, además de dedicarse al comercio viajando por el norte de África. Fue allí donde su hijo Leonardo descubrió la magia de los números árabes.

Retrato de Fibonacci / Imagen: wikimedia

El sistema indoarábigo viajó desde la India primero a Persia y después a Oriente Medio y el norte de África, desde donde dio el salto a Europa, gracias, entre otros matemáticos, a Fibonacci. El uso de los números árabes que planteaba el pisano incluía la posibilidad de operar con números enteros y fracciones, la división de un número en factores primos, la operación de la raíz cuadrada… No fue fácil adoptar este sistema a pesar de sus numerosas ventajas. Las cruzadas contra el Islam que estaban en marcha por aquel entonces, hacía que cualquier cosa etiquetada como “árabe” quedara automáticamente bajo sospecha. Los números árabes llegaron incluso a ser vetados en la ciudad de Florencia en 1299 con el pretexto de que “eran más fáciles de falsificar que los números romanos”.

Gracias a la actividad comercial de su padre, Fibonacci tuvo la oportunidad de conocer a los grandes matemáticos que había fuera de la burbuja de occidente (Egipto, Siria, Argelia, Grecia…) durante largos viajes a través de diferentes países del mundo árabe y del Mediterráneo. Después regresó a Italia y cuando tenía 32 años publicó el libro Liber abaci (1202), en el que explicaba la importancia del sistema de numeración árabe y lo aplicaba a diferentes situaciones del día a día del mundo del comercio para probar que era más práctico que el sistema de números romanos: el cambio de divisas, la contabilidad comercial, la transformación de pesos y medidas… Un cuarto de siglo más tarde (1227) publicó una segunda edición del mismo libro ampliada y reelaborada que se ha convertido en la versión de referencia de “Liber abaci”, pues actualmente no se conserva ninguno de los ejemplares de aquella primera edición manuscrita de 1202.

Federico II de Hohenstaufen (1194-1250) era el Emperador del Sacro Imperio Romano Germánico cuando conoció el trabajo de Fibonacci gracias a la correspondencia que mantuvo el matemático tras su vuelta a Italia con algunos miembros de su corte, entre los que se encontraba Michael Scotus, astrólogo a quien admiraba el pisano y al que dedicó esa segunda edición de su libro más famoso. Johanes de Palermo(Juan de Palermo) también formaba parte de la Corte y fue él quien retó a Fibonacci con un problema matemático que grabaría su nombre en la historia para siempre.

 

EL PROBLEMA DE LOS CONEJOS

Un hombre puso un par de conejos en un lugar rodeado por todos lados por una pared. ¿Cuántos pares de conejos pueden ser producidos a partir de ese par en un año si se supone que cada mes, cada pareja engendra un nuevo par que a partir del segundo mes se vuelve productivo?

 

Un hombre puso un par de conejos en un lugar rodeado por todos lados por una pared. ¿Cuántos pares de conejos pueden ser producidos a partir de ese par en un año si se supone que cada mes, cada pareja engendra un nuevo par que a partir del segundo mes se vuelve productivo?

 

Fibonacci aceptó el reto y resolvió el problema, publicando la solución en una obra titulada “Flos” (1225). Para ello desarrolló una serie numérica que pasaría a la historia como la serie de Fibonacci.Dicha sucesión de números comienza con 0 y 1, y a partir de ahí cada elemento o número de Fibonacci es la suma de los dos anteriores. Así representó Leonardo el problema reproductivo de los conejos que, aunque es un modelo artificial en el caso de estos animales (pues biológicamente no es estrictamente cierto) sí se cumple a la perfección en el modelo reproductivo de las abejas. En una colmena, sólo se reproduce la reina: es la única que pone huevos.

  • Si son fertilizados, surgen las abejas obreras (hembras). Con un 50 % de su carga genética aportada por la madre (reina) y el otro 50 por el padre (zángano).
  • Los zánganos o abejas macho se producen a partir de huevos no fertilizados. Así, las abejas obreras hembras tienen dos progenitores y los
  • zánganos, uno. El 100% de su información genética es aportada por la madre.

Esquema simulando el árbol genealógico de las abejas / Imagen:Canada’s SchoolNet

Las abejas no son una excepción, pues estos números están detrás de muchos y muy variopintos fenómenos de la naturaleza: la disposición de los pétalos de las flores, la formación de los huracanes… ¿Cómo es posible? ¿Acaso son una combinación mágica, el “abracadabra” de las matemáticas? El misterio detrás de esta sucesión de números que parece estar inscrita en los cimientos matemáticos de todo lo que nos rodea (al menos de muchas de las cosas que existen a nuestro alrededor) fascina a expertos de muchos campos de la ciencia desde hace siglos, llegando incluso a existir publicaciones especializadas en encontrar nuevos campos relacionados con ella.

 

DE LAS MATEMÁTICAS MEDIEVALES A LA “DIVINA PROPORCIÓN”

Pero, ¿cuánto hay de “magia” en la famosa serie de Fibonacci? ¿Hasta qué punto fue el pisano el descubridor exclusivo de estos números y las proporciones a las que da lugar la relación entre los mismos? La historia ha dejado pistas sobre anteriores menciones de la fórmula, como es el caso de varios matemáticos hindúes: Gopala (1135) y Hemachandra (1150), que ya habían dado cuenta de ella en sus escritos varias décadas antes de la existencia de Fibonacci. Incluso varios siglos después, el mismísimo Kepler (1571-1630) continuó fascinado con la investigación sobre esta serie y desarrolló siglos después el concepto que pasaría a la historia como “la divina proporción”  en su obra “Strena Seu de Nive Sexangula” (1611).

Kepler redescubrió la secuencia a través de la proporción que existía entre los términos consecutivos de la serie.  2 es a 3, lo que 3 es a 5 y lo que 5 es a 8 y así sucesivamente con todos los elementos de la misma. Es decir, existe una proporción (divina proporción o proporción áurea) que se mantiene constantemente al dividir cualquiera de los números entre su predecesor en la serie. Esta proporción se representa con el número phi (en honor al escultor griego Fidias y no a Fibonacci): φ = 1,618.

Kepler ya definió en su obra “Strena Seu de Nive Sexangula” (1611) la importancia de esta proporción, que según él, se desarrollaba de una manera análoga en el proceso reproductivo, consiguiendo así perpetuarse. La idea de Kepler sobre un proceso biológico de autorreplicación marcado por la secuencia de Fibonacci fue ignorada por los biólogos hasta hace relativamente poco, cuando la filotaxis  -disposición de las hojas en un tallo- se consolidó científicamente.

 

Sea como fuere, el descubrimiento de la serie numérica que dio lugar a la divina proporción le valió a Fibonacci la permanencia en el tiempo y en la memoria de las matemáticas. En el siglo XIX una estatua en su honor fue erigida en Pisa y a día de hoy puede visitarse en el cementerio de la ciudad, en la Piazza dei Miracoli. No hay muchos datos sobre el final de su vida, aunque sí existe un decreto por el cual la República de Pisa concede un salario vitalicio a Leonardo pisano en 1240 en reconocimiento por su servicio a la ciudad como consejero en materias de contabilidad.

Dory Gascueña




LA LUNA DE HOY

Fase lunar actual: menguante.

Fecha y hora:19 agosto 2019 - 20:50

Distancia entre la luna y la tierra:402,292 km

Edad de la luna:18.6 Días

Fase de la luna: El tamaño de la luna disminuye

Porcentaje de visibilidad: 84%




EL PRINCIPITO

“El Principito”, la obra más leída después de la Biblia, cumplió 76 años.

Único habitante del asteroide B612, el Principito es uno de los personajes creados por el autor francés Antoine de Saint-Exupéry para protagonizar su relato infantil de 1943 del mismo nombre.

El Principito vive en un asteroide, el B612, donde comparte espacio con una rosa y pasa el tiempo tratando de que los baobabs no echen raíces. Un día decide marchar del asteroide y viajar por el resto del universo, donde se encuentra con otros personajes, como el borracho, el rey vanidoso o el geógrafo. Tras estos viajes acaba en la Tierra, donde conoce a un aviador que se ha estrellado en el Sáhara a quien le relata sus viajes y filosofía.

Finalmente, el Principito se deja morder por una serpiente venenosa, ya que al morir volverá a aparecer en su mundo de origen.

Antoine Marie de Saint-Exupéry fue un novelista y aviador francés, quien se inspiró en sus viajes para escribir.

Uno de sus principales libros es El Principito, surgido, probablemente, mientras estaba en Antigua Guatemala en 1938, recuperándose de un accidente aéreo. Saint-Exupéry nació en 1900 en el seno de una familia acomodada.

Su padre era ejecutivo de una compañía de seguros, y su madre fue una mujer de gran sensibilidad artística, tenía cuatro hermanos. A los cuatro años de edad falleció su padre y se trasladó junto con su familia a residir en el castillo de su tía. Fue muy feliz, rodeado de cariño, en especial de su madre, cuya sensibilidad y cultura lo marcaron profundamente, y con la que mantuvo una voluminosa correspondencia durante toda su vida.

Sus estudios en la infancia los realizó en instituciones católicas. Luego, intentó ingresar en la Escuela naval, pero no logró su objetivo y se inscribió en Bellas Artes.

Apasionado por la aviación, pudo aprender el oficio de piloto durante su servicio militar, pero la familia de su novia se opuso a que se incorporara al ejército del aire.

1926 marcó un giro decisivo en su vida, con la publicación de la novela breve El aviador, en Le Navire Dargent, de J. Prévost, y con un contrato como piloto. A partir de ese momento, cada escala de piloto, correspondió una etapa de su producción literaria, alimentada con la experiencia.

Una de las principales obras de Saint-Exupéry es El Principito, uno de los libros más leídos alrededor del mundo. En febrero de 1938, el escritor y piloto francés salió de la ciudad de Nueva York rumbo a Punta Arenas (Chile). Una de las escalas para abastecerse de combustible fue Guatemala, país que no le era desconocido, ya que su esposa Consuelo Suncín, de nacionalidad salvadoreña, era viuda del escritor guatemalteco Enrique Gómez Carillo.

El avión de Exupéry aterrizó en el aeropuerto La Aurora, pero se sobrecargó de gasolina y al despegar se estrelló al final de la pista. Gravemente heridos, tripulante y piloto, fueron conducidos al Hospital San Juan de Dios y posteriormente al Militar.

Exupéry pasó cinco días en coma y debido a múltiples quemaduras y fracturas tuvo que someterse a varias operaciones, lo que hizo que el escritor pasara varios meses en el país, primero en el Hotel Palace y luego en una casa grande, de inmensos corredores, en Antigua Guatemala.

Poco tiempo después, en 1941 escribió su principal obra, la cual según los estudiosos estuvo inspirada en Antigua, la ciudad de las rosas, rodeada por los volcanes.

Según el poeta e investigador argentino residente en Guatemala, Jorge Carrol, el asteroide B 612 (que refiere en el libro) es la Antigua. En el capítulo XX, Exupéry escribe: “Me creía rico con una flor única y no poseo más que una rosa ordinaria. La rosa y mis tres volcanes que me llegan a la rodilla, uno de los cuales quizá está apagado para siempre”.

A partir de 1943, Antoine Marie de Saint-Exupéry pidió incorporarse a las fuerzas francesas en África del Norte y retomó las misiones desde Cerdeña y Córcega. En el transcurso de una de ellas, el 31 de julio de 1944, su avión desapareció en el Mediterráneo.

Un cuerpo sin identificar que vestía con los colores franceses fue encontrado varios días después al este del archipiélago Frioul, al sur de Marsella, y enterrado en Carqueiranne, en septiembre de ese año.

En realidad, nunca se supo qué ocurrió con Antoine de Saint-Exupéry. Quizá se fue a vivir al asteroide B612, que “sólo una vez ha sido visto con el telescopio, en el año 1909, por un astrónomo de origen turco”, El Principito.




LA LUNA DE HOY

Fecha y hora:15 agosto 2019 - 21:10

Distancia entre la luna y la tierra: 404.640 km

Edad de la luna: 15 Días

Fase de la luna: Luna llena

Porcentaje de visibilidad: 100%




INVESTIGADORES MEXICANOS Y ESTADOUNIDENSES DESCUBREN EN VENENO DE ALACRÁN, UN COMPUESTO EFECTIVO PARA MATAR BACTERIA DE LA TUBERCULOSIS.

*De acuerdo con la Organización Mundial de la Salud, 350 millones de personas en el mundo padecen tuberculosis.

El veneno de la especie de alacrán mexicano Diplocentrus melici, nativo de Veracruz, contiene dos compuestos que podrían ayudar a combatir las bacterias causantes de tuberculosis, sin afectar el tejido pulmonar.

Es un hallazgo que tiene repercusión importante en la salud pública, pues abre la posibilidad de obtener un nuevo antibiótico y que, probablemente, ayude a controlar la enfermedad.

 

De acuerdo con la Organización Mundial de la Salud (OMS) 350 millones de personas en el mundo padecen tuberculosis, una enfermedad cuyo tratamiento dura seis meses. Los pacientes precisan cuatro antibióticos diferentes; cuando el enfermo presenta una mejoría es común que abandone los medicamentos, provocando la resistencia de las bacterias, entonces es indispensable confinar al individuo y aplicar ocho fármacos durante un periodo de dos años. Esto es un problema de salud pública importante.

El doctor Lourival Possani, investigador del Instituto de Biotecnología de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM), el químico Richard Zere de la Universidad de Stanford y el patólogo Rogelio Hernández-Pando del Instituto Nacional de Ciencias Médicas y Nutrición Salvador Zubirán, comprobaron la efectividad de los compuestos para eliminar infecciones provocadas por stafilococos aurus y bacterias causantes de la tuberculosis.

En entrevista para el Conacyt, el académico del Instituto de Biotecnología explica el proceso que llevó al descubrimiento, el trabajo de colaboración y el futuro de estos compuestos.

 

¿En qué consiste el descubrimiento?

Mientras extraíamos el veneno de Diplocentrus melici, vimos que cambiaba de color en contacto con el aire, al investigar en el laboratorio este inusual cambio, encontramos dos compuestos químicos involucrados; sin embargo, debido a que en el Instituto de Biotecnología no tenemos el know how y el equipo necesario para determinar la estructura molecular de éstos, buscamos la colaboración de Richard Zare de la Universidad de Stanford, quien es experto en identificar y sintetizar sustancias químicas.

 

¿Qué tipo de estructura molecular tienen esos compuestos?

Una cantidad muy pequeña del veneno que contiene los compuestos fue analizada en la Universidad de Standford, donde se determinó que su estructura molecular consiste en dos benzoquinonas (una clase de moléculas tipo anillo con propiedades antimicrobianas): una roja y otra azul.

Para realizar los análisis clínicos en ratones infectados con bacterias que causan la tuberculosis, contamos con la colaboración del doctor Rogelio Hernández-Pando, patólogo reconocido a nivel internacional por su investigación sobre esa enfermedad, quien, junto a su equipo de trabajo, encontró que la benzoquinona roja era eficaz para matar bacterias de stafilococos aurus, mientras que la azul eliminó las cepas de bacterias que provocan la tuberculosis.

Gracias a esta colaboración tripartita y multidisciplinaria podemos decir que tenemos un antibiótico eficaz para el tratamiento de la tuberculosis. A partir del descubrimiento de estas dos benzoquinonas, se diseñó un fármaco gracias al trabajo del doctor Zare de Stanford, que generó dichos compuestos de forma química, ya que la cantidad de veneno que se consigue es muy pequeña y, finalmente, las pruebas realizadas por el doctor Hernández-Pando

 

¿Cuál es el siguiente paso?

Debido a que ya comprobamos la eficacia del fármaco porque mata las bacterias sin causar efectos secundarios como daños al tejido pulmonar; lo siguiente fue registrar una patente internacional y publicar un artículo. Durante los últimos dos años trabajamos en el tema, no asistimos a congresos y tampoco comunicamos algo, hasta ahora. Finalmente, todo salió bien y es público.

Tenemos experiencia en esta materia, pues hace 15 años escribimos sobre el veneno de alacrán y obtuvimos otra patente internacional que fue registrada en 20 países. Actualmente, ese producto está en manos de una compañía farmacéutica que realiza las pruebas clínicas

Actualmente, estamos a la espera de que alguna compañía farmacéutica se interese en ese fármaco y decida comprar los derechos de la patente para concluir los experimentos clínicos, hasta el momento, contamos con los análisis preclínicos, los cuales se realizan en animales, obtuvimos muy buenos resultados; sin embargo, antes de utilizarlo en la población es necesario probarlo en humanos y eso cuesta millones de dólares. Tal vez en cinco años se anuncie a nivel mundial, si la farmacéutica trabaja rápido y cuenta con los recursos económicos.

 

¿Qué significa este hallazgo en un país con numerosos casos de picadura de alacrán?

En México se presentan altos índices de picaduras de alacrán, alrededor de 300 mil personas cada año, aunque existe un antiveneno eficiente y seguro, hay quienes se resisten a aplicárselo en las siguientes dos horas posteriores a la picadura. Actualmente, se registran hasta 90 muertes anuales porque la gente no confía en el antídoto. Anteriormente morían entre 700 y 800 mexicanos víctimas del veneno de alacranes.

 

¿Cuál es el beneficio para los científicos mexicanos y para la ciencia de nuestro país?

Esta noticia ya se dio a conocer en Estados Unidos y Europa, eso significa que los mexicanos son capaces de realizar investigación de primer mundo. Somos el grupo más importante en lo que se refiere a venenos de alacrán y aún falta descubrir más usos potenciales de la toxina.




CANÍCULA




LA LUNA DE HOY

Fase lunar: Luna menguante

Iluminación: 37.1%

Edad lunar: 23.4 días

Salida: 02:38 CDT

Puesta: 15:06 CDT

Distancia Luna: 399,072.12 km

Distancia Sol: 152,075,833.68 km




SOLSTICIO DE VERANO

El 21 de junio inicia el verano de este 2019.

Las estaciones del año se han conveniado por los instantes en que nuestro planeta se encuentra en algunas posiciones de su órbita solar.

El verano es el punto de la eclíptica en que la tierra alcanza su posición más boreal (al norte), en este momento el Sol alcanza su máxima declinación norte +23º 27’ y durante varios días casi no cambia su altura máxima al mediodía.

Por esta circunstancia se le llama solsticio ya que significa “sol quieto” y por supuesto da inicio el verano.

Las características de este periodo del año comprenden: la salida del Sol más temprano y el día en que se oculta más tarde, es decir tendremos días más largos y la duración de las noches es menor.

Este año el verano entrará el viernes 21 de junio, durará 93 días y 15 horas y terminará el próximo 23 de septiembre, con la entrada del otoño.